Trabajo en equipo: Experimento del capítulo 2

¿PODEMOS SER COMO GALILEO?

Introducción

Vamos a tratar el tema que hizo Galileo Galilei sobre si dos bolas, una grande y otra pequeña llegaban al suelo al mismo tiempo, en caída libre (desde la misma altura) independientemente de la masa que tenían. El vídeo que han hecho los profesores ha sido una reconstrucción aproximada de lo que hizo Galileo. El experimento es sencillo: se cogen dos bolas, por ejemplo de metal, (de masa diferente), se alzan a la misma altura y, se dejan caer, lo que pasa es que, por ejemplo, al haber tan poca distancia desde la altura hasta el suelo, el tiempo de caída es muy pequeño y, por tanto, no se puede calcular bien, pero gracias a un editor de vídeos (por ejemplo windows movie maker) podemos "parar" el vídeo y poner observaciones , flechas etc. Como se ha hecho en el vídeo de Ángel y Víctor. Además se ha puesto una regla, en el vídeo, con números bastante grandes para que, al modificarlo con el windows movie maker con flechas y demás, que se visesen bien, por donde iban las bolas. Aunque está muy bien hecho, esta práctica que han hecho Ángel y Víctor tiene algunas diferencias con la práctica que hizo Galileo en aquellos tiempos. Para empezar, Galileo no tenía ni Windows movie maker ni nada que se le pareciese (algo obvio) por tanto, tendría que repetir el experimento decenas de veces para poder llegar a una conclusión y la otra es que Galileo no hizo este experimento en un plano de 90 º sino que lo hizo en un plano inclinado ya que , aunque tuviera las unidades de medida adecuadas, no tenía los instrumentos adecuados para medir.

Experimentación y cálculos

Vamos a intentar averiguar de manera experimental el valor de la gravedad, para esto vamos a recurrir a nuestros conocimientos de cinemática que, junto con los datos recogidos en el video posibilitarán la tarea. Tan solo debemos recordar la ecuación de posición y despejar la aceleración, teniendo en cuenta que la velocidad inicial es cero.

y = yo + vot - 1/2 gt^2
∆y = - 1/2 gt^2

g = - 2∆y / t^2

En teoría tan solo con introducir los datos de un punto en esta fórmula obtendríamos nuestra famosa aceleración de la gravedad, pero en la práctica esto no es tan sencillo.

g1 = 2 . 0,025/0,08^2 = 7,8125 m/s^2

g2 = 2 . 0,12/0,16^2 = 9,375 m/s^2
g3 = 2 . 0,27/0,24^2 =9,375 m/s^2
g4 = 2 . 0,49/0,32^2 =9,57 m/s^2

g5 = 2 . 0,78/0,4^2 =9,75 m/s^2
g6 = 2 . 1,13/0,48^2 =9,81 m/s^2

Con un simple vistazo ya nos damos cuenta de que algo raro ocurre, tras preguntar a mi profesor ya se cual es el problema. Se trata de un problema de medida de datos, como no, pero en ésta ocasión, es un problema muy especial. Como hemos explicado antes, para medir el espacio y el tiempo en la caida libre nos valimos de un instrumento que a Galileo le hubiese sido de grandísima utilidad; una cámara de video. Por desgracia, el experimento entero transcurre en menos de un segundo y no solo esto, sino que la primera medida sin ir más lejos transcurre en un tiempo menor que un 2,5 % de un segundo. Esto, si consideramos cómo funciona una cámara, supone un desajuste considerable, que es la causa de la imperfección de los resultados obtenidos en los cálculos anteriores y en muchos de los posteriores. El fallo reside en que la cámara que empleamos para grabar el experimento no tiene los suficientes frames por unidad de tiempo como para captar el momento exacto en que tomamos las primeras medidas y para solucionarlo asigna todas las cantidades de tiempo que no tienen un frame al más próximo. Es por esto que según aumenta el tiempo transcurrido aumenta también la precisión en el cálculo de la aceleración de la gravedad. Es curioso que en la gráfica se aprecia que donde realmente hay un error de medida grande es en la primera medida, la más pequeña, pues entre el primer y el segundo tiempo se da un crecimiento mucho mayor que en el resto, donde el crecimiento es mucho más progresivo.

Ahora vamos a empezar a estudiar y a tratar los datos que hemos recogido de diferentes maneras, en muchas de las cuales emplearemos las gravedades que hemos obtenido de manera experimental.

En la gráfica de la derecha hemos
representado como varía el espacio que recorren las bolas en un intervalo de tiempo determinado, en nuestro caso 0,08 segundos, el tratamiento de los datos es nulo, no obstante los resultados de representar los datos en un gráfico son realmente muy representativos e ilustrativos.

En la gráfica podemos deducir rápidamente y a primera vista una cosa; estamos frente a una función parabólica, lo que, aplicado a una gráfica de espacio frente a tiempo, significa que el espacio que recorren las bolas cada 0,08 segundos va aumentando progresicamente. Esto tiene sentido si consideramos que las bolas sufren una aceleración hacia el suelo de 9,8 m/s^2, lo que significa que en el primer segundo recorrerá 9,8 metros, en el segundo 19,6 metros y así sucesivamento, esto claro, si no tenemos en cuenta las fuerzas no conservativas. Podemos afirmar ahora que con certeza nos encontramos ante un MRUA, tal y como se esperaba. Por último es resaltable que las infinitas pendientes de esta gráfica son las velocidades de las bolas en cada instante.

Vamos a calcular ahora las velocidades de las bolas de cuatro maneras diferentes, para comparar los resultados. Empezaremos por calcular las velocidades con nuestros conocimientos de cinemática, primero de manera analítica y tras esto de manera experimental. Para hacer esto debemos recordar la ecuación de velocidad. Como partimos del reposo ni siquiera emplearemos la fórmula entera, tan solo necesitaremos la gravedad, constante, 9,8 m/s^2 en la Tierra y los tiempos.

V=vo + gt

v1 = 9,8 . 0,08 = 0,784 m/s

v2 = 9,8 . 0,16 = 1,568 m/s

v3 = 9,8 . 0,24 = 2,352 m/s

v4 = 9,8 . 0,32 = 3,136 m/s

v5 = 9,8 . 0,4 = 3,92 m/s

v6 = 9,8 . 0,48 = 4,704 m/s

Ahora haremos lo mismo que al calcular la velocidad analítica, solo que ésta vez emplearemos las gravedades calculadas con los tiempos y los espacios medidos.

v1 = 7,8125 . 0,08 = 0,625 m/s
v2 = 9,375 . 0,16 = 1,5 m/s
v3 = 9,375 . 0,24 = 2,25 m/s
v4 = 9,57 . 0,32 = 3,0624 m/s
v5 = 9,75 . 0,4 = 3,9 m/s
v6 = 9,81 . 0,48 = 4,7088 m/s

Como acabamos de dar el tema de energías vamos a calcular también la velocidad basandonos en el teorema de la conservación de la energía mecánica. El proceso es relativamente sencillo, basándonos en que la energía mecánica es siempre igual durante toda la experiencia podemos, sin conocer las masas, calcular las velocidades en todos los puntos al comparar las Em con la energía mecánica del punto 6 de nuestro dibujo o bien con la posición inicial de las bolas. Nosotros vamos a extraer la fórmula con la posición inicial.

Em = Ec + Ep
Ec = 1/2 mv^2

Ep = mgh

va = 0 m/s (posición inicial)

Ema = Emb

Eca + Epa = Ecb + Epb

1/2 mva^2 + mgha = 1/2 mvb^2 + mghb

gha - ghb = 2v^2

v = (2gs)^(1/2)

v1 = (2. 9,8 . 0,025)^(1/2) = 0,7 m/s

v2 = (2. 9,8 . 0,12)^(1/2) = 1,53 m/s

v3 = (2. 9,8 . 0,27)^(1/2) = 2,3 m/s
v4 = (2. 9,8 . 0,49)^(1/2) = 3,099 m/s

v5 = (2. 9,8 . 0,78)^(1/2) = 3,909 m/s

v6 = (2. 9,8 . 1,13)^(1/2) = 4,706 m/s

Éste método no vamos a emplearlo para calcular la velocidad con la gravedad experimental, pues obtendríamos resultados muy parecidos a los calculados mediante cinemática experimentalmente y estos además no nos llevarían a nuevas conclusiones.

Por último, calcularemos la velocidad de manera experimental comparando el incremento del espacio y el incremento del tiempo, es decir, vamos a hacer una media de las velocidades de los intervalos de tiempo.

v = ∆y/∆t

v1 = 0,025/0,08 = 0,3125 m/s
v2 = 0,095/0,08 = 1,1875 m/s

v3 = 0,15/0,08 = 1,875 m/s

v4 = 0,22/0,08 = 2,75 m/s

v5 = 0,29/0,08 = 3,625 m/s

v6 = 0,35/0,08 = 4,375 m/s

Éste método es un tanto impreciso, pues estamos haciendo una media, por tanto es de esperar que lo resultados sean algo imprecisos.

En esta gráfica podemos comparar las velocidades que hemos obtenido con los métodos anteriores. A primera vista localizamos algo muy curioso, la velocidad experimental calculada comparando el incremento de espacio con el incremento de tiempo, a partir de ahora v exp. 2, es un tanto diferente del resto. Aunque tiene una pendiente, cuando menos, muy parecida a la de las demás, la velocidad es considerablemente menor según este método. Si recordamos la gráfica de la gravedad calculada, en el primer intervalo hay un brusco aumento que no se repite más, es fácil pensar que este brusco cambio, debido como ya he explicado al número de frames por intervalo de tiempo que captura la cámara, es la causa de las diferencias de velocidad entre los diferentes métodos.

Empecemos por la velocidad experimental calculada con los valores de la gravedad calculada y los tiempos y la velocidad calculada según la conservación de la energía. En apariencia, tanto la tabla de datos como la gráfica no muestran diferencias notables entre las velocidades según estos métodos y la velocidad analítica, sin embargo hay una diferencia sutil. Si calculamos el error absoluto de la velocidad según la conservación de la energía comparandola con la analítica descubrimos que, mientras que en la primera velocidad hay un 10,714 % de error, en el último hay tan solo un 0,043 % de error. Esto sustenta nuestra teoría inicial de los frames.

Ahora observemos la v exp. 2, guiándonos por nuestra teoría de los frames y el brusco salto en el primer intervalo nos dimos cuenta de que aunque en este caso también se aprecia una mayor similitud entre la velocidad analítica y la v exp. 2, aún hay algo más que provoca una gran diferencia. Nos fijamos en que las diferencias respectivas entre las velocidades analíticas y las de v exp. 2 parecían constantes, se nos ocurrió así averiguar la diferencia entre el primer dato, sopechoso de ser el causante de la gran diferencia en este caso, y el primer dato analítico; 0,4715 m. Sorprendentemente resultó que esta diferencia es constante, si la sumamos al resto de resultados la similitud entre el resultado de ambos métodos es fascinante. Ésto nos dió que pensar y llegamos a la conclusión de que en éste método hay un desfase producido en el primer intervalo y que se ve reflejado en el resto de velocidades. El porqué de la acumulación de el desfase se debe a que la imprecisión más grande por los frames de la cámara se dá en la primera medida.Por ello, el incremento del espacio se ve modificado por la medida errónea del primer dato.

¿CÓMO MEDIA GALILEO EL TIEMPO Y EL ESPACIO?

El capitulo nos habla principalmente sobre la vida de Galileo, pero también nos cuenta y explica muchos de sus experimentos, sus descubrimientos y aportaciones. Nos cuenta, en algunos casos, cómo los hizo. Para muchos de ellos, necesitaba medir el espacio y el tiempo, y nos dice los mètodos que utiliza, por eso nos ha parecido muy interesante este punto y vamos a desarrollar cada uno de ellos:

En cuanto al espacio, es muy simple, porque utilizaba una regla igual que en la actualidad, pero en esta regla, las separaciones entre cada medida en vez de ser un mm, eran de 0,94 mm (tan solo son 6 milímetros lo que diferencia la regla de latón de la actual).

Ahora, vamos a pasar al tiempo, que ya no era tan simple como medir el espacio, puesto que Galileo no tenía, como en la actualidad, relojes. Este es el motivo de que pensase y se idease sus propios métodos para poder medir el tiempo. Utilizó tres métodos distintos:

1. La primera forma, y a la vez la menos práctica, que utilizó fue el péndulo. Esta forma practicamente no la utilizó, aunque le sirvió para enunciar el principio del péndulo; Un día mientras que Galileo estaba en misa, se fijó en los candeleros de la iglesia y se dio cuenta, utilizando sus pulsaciones, de que el número de pulsaciones para cada oscilación eran siempre las mismas, independientemente de que estas oscilaciones fuesen más largas o más cortas, o lo que es lo mismo, vió que el candelero tardaba exactamente igual en recorrer un arco pequeño que uno grande. Cuando quiso comprobar esta teoría, colocó en una cuerda larga un peso, y en otra cuerda más corta otro, y comprobó cronometrando ambas, que el de la cuerda larga tardaba más tiempo en ir y venir. Sin embargo, al estudiar cada peso por separado, comprobó que siempre tardaba lo mismo en una oscilación, fuese ésta amplia o breve. ¡Galileo acababa de descubrir el principio del péndulo!



2. La segunda forma, fue utilizando un reloj de agua en la cual pasando el agua de un grifo (el cual lo abría Galileo cuando quería empezar a cronometrar y lo cerraba cuando queía terminar)a unos tubitos. Cuando había acabado de cronometrar medía la cantidad de agua que había en el tubo y así con una simple equivalencia (1400 cm^3 por segundo) podía calcular el tiempo. Sabemos que cuanta más agua pasara del grifo al tubo, más precisa sería la medida. Este método fue bastante exacto, puesto que Galileo utilizando este método podía medir con una precisión de casi una centésima de segundo.



3. Por último, queremos destacar el tercer método que ideó Galileo ya que utilizando la música y los conocimientos musicales que tenía logró medir el tiempo; cuando quería empezar a medir un tiempo, empezaba a tocar el laud y cuando quería terminar de "cronometrar" el tiempo, paraba. Este lugar lo señalaba en la partitura y luego contaba los tiempos que había hasta llegar allí , y haciendo equivalencias podía medir el tiempo. Ahora, voy a explicaros con un pequeño ejemplo como se haría en la actualidad; en la pieza para piano que tenemos aquí a la izquierda podemos observar que debajo del título de la obra y encima del primer pentagrama hay una frase que dice : "Allegro molto capriccioso ol = 112" Esto significa, que hay que tocar la pieza rápida y que además la nota blanca tiene que ser igual a 112 en el metronomo (el metrónomo es un instrumento que sirve para medir el tiempo indicándote el número de notas negras que tienes que tocar en un minuto). Por lo tanto, esto quiere decir, que tienes que tocar 56 negras en un minuto, tocando a la vez que suena el metrónomo, y una vez que has acabado sumas el número de notas negras que hay hasta la parte en la que has parado, así podemos saber el tiempo que hemos estado tocando el instrumento, y por lo tanto el tiempo que ha tardado el experimento que queríamos realizar.
   

A modo de conclusión me gustaría aportar mi opinión personal sobre los métodos que Galileo utilizó para medir el tiempo y el espacio en su época, porque me ha llamado la atención sobretodo, la forma de la cual Galileo descubrió el principio del péndulo, ya que utilizando su posible aburrimiento y su posterior curiosidad se fijó en el candelero de la iglesia y de allí se marchó corriendo a su casa para experimentar y de ahí acabó enunciando un principio. Otra cosa que me ha gustado y me ha sorprendido realmente han sido, en general, las formas que hemos explicado anteriormente sobre las formas de medir el tiempo, ya que utilizaba las cosas que tenía a mano y su ingenio para conseguir medirlo.

Esto lo llevó acabo porque no tenía los instrumentos necesarios, y yo creo que si hubiese vivido en nuestro tiempo y los hubiese tenido, la necesidad no le hubiese surgido y todos estos métodos no los hubiese descubierto. Por eso, aunque con los cálculos anteriores hallamos querido "imitar a Galileo", no lo hemos conseguido ya que no tenemos las necesidades que el tenía.

Para terminar, decir que con este trabajo me he dado cuenta de que la necesidad y la curiosidad, además de la observación son unos de los factores elementales de la ciencia.