Capítulo 1: Eratóstenes

Fue historiador y filósofo, además de geógrafo y astrónomo. Sobresalió en todos estos campos del saber y por eso recibió el apodo de “beta” (segunda letra del alfabeto griego) pues ocupó varias veces el segundo puesto en estas disciplinas. Esto, hizo de Eratóstenes la persona ideal para ser el tercer director de la Biblioteca de Alejandría, el mayor centro científico y cultural del mundo antiguo. Si hacemos un repaso de los logros de Eratóstenes vemos que hizo grandes descubrimientos en el campo de las matemáticas, en geografía, en astronomía... Sin embargo, la determinación del tamaño de la Tierra fue lo que más fama ha dado a Eratóstenes, y a continuación vamos a analizarlo y desarrollarlo.

Durante su época se sucedieron varios acontecimentos de relevancia, en el siglo III se inició la romanización de Hispania con la Primera y la Segunda Guerras Púnicas, se tradujo la Biblia al Griego en Alejandría y se comenzó la construcción de la Muralla China entre muchas otras cosas. En el siglo II comienza la dinastía de los Ptolomeos en Egipto. Todos estos eventos, entre otros se dieron durante la vida de Eratóstenes.

Este experimento tuvo mucho que ver con Colón y el descubrimiento de América. Como ya sabemos, Colón, llegó a América, en 1492 y estaba convencido de que había llegado a la parte oriental de la India. Este convencimiento le llevaba, “después de todo”, a confirmar que el valor de la circunferencia de la Tierra era de unos 29.000 km, como ya había establecido Claudio Ptolomeo en el siglo II d.C. Para conseguir la financiación de su viaje, tuvo que defender la idea de Posidonio de Apamea (que unos 135 años después de que Eratóstenes muriera, Posidonio intentó repetir el trabajo de Eratóstenes con algunas mejoras en la técnica utilizada y llegó a la conclusión de que la Tierra tenía una circunferencia de 29.000 km). Esta cifra fue aceptada por Ptolomeo como más exacta que la de Eratóstenes y Colón utilizando esta medida y teniendo que realizar estimaciones propias que, manipuladas convenientemente para convencer a los frailes consejeros de Isabel la Católica se acercaban al valor dado por Ptolomeo y, tuvo que confiar en que el valor de la circunferencia terrestre de Eratóstenes, de unos 39.000 km, no era cierto ya que un hipotético viaje de 6.000 km pasaría a ser de 20.000 km, imposible de realizar en los barcos de la época y, desde luego, no financiable.


Hoy sabemos que Colón se encontró con un continente nuevo, y que la longitud del meridiano que pasa por los dos polos es de 39.942 km, y la circunferencia ecuatorial, o sea, la longitud del ecuador, es de 40.074 km. También sabemos que la mejor medida del meridiano en la antigüedad data del 235 a. C. y que la llevó a cabo Eratóstenes de Cirene que se acercó, al valor real con un error del 1’5 %. Pero los antiguos tomaron este número como demasiado grande puesto que creían que conocían una gran parte de la Tierra y esto no era verdad, por eso, cuando unos 135 años después otro astrónomo griego, Posidonio de Apamea, intentó repetir el trabajo de Eratóstenes con algunas mejoras en la técnica utilizada y llegó a la conclusión de que la Tierra tenía una circunferencia de 29.000 km esta cifra fue aceptada por Ptolomeo como más exacta que la de Eratóstenes.

EXPERIMENTO

Pues bien, tras esto vamos a explicar el experimento que hemos realizado intentando hacer algo relativamente similar a lo que hizo Eratóstenes, claro está, en condiciones muy diferentes y con medios mucho mas precisos y cómodos. Cómo se le ocurrió a Eratóstenes realizar este experimento es bastante curioso, se enteró de que en Siena, hoy conocida como Asuán, cierto dia cada año al mediodia los obeliscos y columnas lisas no producían sombra y además el agua de los pozos reflejaba como un espejo la luz del Sol, esto estimuló la curiosidad de este personaje. Hoy sabemos que lo que sucede es que los rayos inciden en el preciso instante del solsticio de verano directamente en dirección al centro de la Tierra y un pozo y una columna bien construidos también definen la directamente al centro de la Tierra.

Eratóstenes llegó a la conclusión, o más bien asumió con gran acierto que el sol estaba tan lejos de la Tierra como para asemejar la distancia entre ambos al infinito y por tanto considerar que los rayos del Sol incidían paralelos entre si sobre la superficie de la Tierra.Para esto hay que destacar, que tuvo que partir de varias suposiciones: los rayos del Sol inciden de forma paralela sobre toda la Tierra, y por tanto, la sombra que da una vara recta y vertical difiere en longitud dependiendo del punto de la Tierra donde se encuentre. Tras esto y haciendo alarde de un gran ingenio se le ocurrió una simple manera para medir la longitud de la circunferencia de la Tierra. Se dio cuenta de que podría averiguarlo midiendo la sombra de una columna en Alejandría en el momento preciso del solsticio de verano, cuando las columnas de Asuán no producían sombra y sabiendo la distancia exacta entre Alejandría y Asuán, todo esto teniendo en cuenta que según sus mapas ambas se encontraban en el mismo meridiano. Para averiguar la distancia exacta entre las dos ciudades Eratóstenes encargó a las caravanas que iban de una ciudad a la otra medir por separado la distancia entre una y otra, tras un año, Eratóstenes consiguió una medida bastante similar a la real y con estos datos fue capaz de realizar la medida más precisa de la circunferencia de la Tierra de la Antigüedad, con solo un o,33% de error frente a la real. Este fue el razonamiento que siguió:
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Teniendo en cuenta que todos los triángulos en dos dimensiones cumplen la propiedad de que la suma de sus tres ángulos es 180º y las razones trigonométricas:


α1 + 180 - α2 + α = 180 .............α / 360 = D / L
α1 + α2 + α = 0.............................L = 360 D / α
α = α2 - α1.....................................¡Eureka!

D = Distancia entre Alejandría y Asuán.
L = Longitud de la circunferencia de la Tierra.





Para calcular los ángulos agudos de un triángulo rectángulo debemos aplicar la siguiente fórmula:

α = Ángulo
tg α = sen α /cos α =c / a

Tras esto calculamos la arcotg con la calculadora y ya tenemos α.

Inicialmente nuestra intención era repetir el experimento tal y como se describe en el libro, intentamos contactar con otros centros para realizar el experimento, pero ninguno respondió así que hemos optado por realizar el proceso inverso, en vez de averiguar la longitud de la circunferencia de la Tierra, trataremos de averiguar que ángulo debería haberles salido de haber realizado el experimento. Para ello necesitaremos un dato más, el radio de la Tierra, 6.370 km.

He seleccionado tres de las ciudades con cuyos centros tratamos de contactar para contrastar los resultados, estas son Exeter, Santander y Burgos.


Usando GoogleEarth he averiguado la distancia entre nuestro colegio y las otras ciudades.

Burgos.....................202,57 km
Santander...............326,10 km
Exeter.....................1133,86 km

En el colegio tomamos medidas de las sombra que proyectaba un palo dispuesto en vertical de 1,65 m de longitud, su sombra medía 2,34 m.

Sabiendo todo esto y basandonos en el razonamiento que hemos explicado anteriormente:

r = radio terrestre = 6.370 km = 637 . 10^4 m
Longitud de circunferencia = 2πr


Longitud circunferencia terrestre = 2 . π . 6370 . 10^4 =40.003.600 m = 40.003,6 km Burgos:

Palo = 1,65 m tg = 1,65 / 2,34 = 0,705
Sombra = 2,34 m arcotg = ángulo C. Base =35,19º = α1

α = α2 - α1

Burgos:

α/360 = 202,57 / 40.003,6 α2 = 1,82 + 35,19 = 37,01º
α = 1,82º







Santander:

β/360 = 326,10 / 40.003,6 β2 = 2,93 + 35,19 = 38,12º
β =2,93º







Exeter:

γ/360 = 1133,86 / 40.003,6 γ2 =10,2 + 35,19 = 45,39º
γ =10,2º




Observando los datos podemos llegar facilmento a una conclusión, cuanto más al norte no deplacemos, mayor será el ángulo formado entre el palo y los rayos de sol y por tanto, mayor será la longitud de la sombra del palo.


Si observamos el esquema de la traslación terrestre, entenderemos mejor este fenómeno, estamos a punto de entrar en la primavera, por ello los rayos solares inciden de manera más perpendicular cuanto más al sur estemos y según viajamos al norte menos perpendiculares al suelo inciden los rayos. Es importante destacar que esto solo es asi en el polo, norte, en el polo sur ocurre justo lo contrario.












Como sobraba algo de tiempo, decidimos medir la sombra que proyectaba el palo al colocarlo en diferentes ángulos respecto al suelo.

Inclinación de la vara (º) Sombra que proyecta (m)

90----------------------- 2,34
45----------------------- 2,68
30----------------------- 2,55


Como se puede observar, cambiando la inclinación de la vara también varia la longitud de la sombra. Es destacable que el grado de inclinación del palo no es directamente proporcional a la longitud de la sombra. En vez de esto la longitud de la sombra varía según el ángulo con que incidan los rayos del sol en la Tierra.

Finalmente decidimos aplicar lo que hemos aprendido con el teorema de Tales para medir la altura de una canasta de la portería y del colegio mismo conociendo tan solo la longitud de su sombra la longitud del palo y su sombra. Este método prueba la utilidad práctica del teorema, pues sin conocer el teorema, nos resultaría mucho más lento y trabajoso averiguar la altura.

DATOS

o Sombra del colegio 11,28 m

o Sombra de la canasta 3,80 m

o Sombra de la porteria 3 m

o Sombra del palo 2,34 m

o Medida real del palo 1,65m

CÁLCULO MEDIDAS:

o Vamos a calcular la medida de los objetos utilizando la semejanza de figuras.

H palo / S palo = H colegio / S colegio

1,65 / 2,34 = H colegio / 11,28

Altura colegio = 7,95 m

H palo / S palo = H protería / S portería

1,65 / 2,34 = H portería / 3

Altura portería = 2,11 m

H palo / S palo = H canasta / S canasta

1,65 / 2,34 = H canasta / 3,8

Altura canasta = 2,67 m

OPINIÓN DEL CAPÍTULO

Tras leer nuestro primer capítulo es nuestra opinión que el autor consigue con mucho éxito atraer la atención del lector dar un conocimiento del contexto histórico mínimo pero interesante, explicar un bello experimento y contarnos brevemente la vida de un gran científico. En el proceso además nos va recordando la teoría que necesitamos para entender el experimento a la perfección.

Solamente creemos que Manuel Lozano Leyva no se explica con suficiente claridad en la parte en la que explica como podemos realizar nosotros el experimento conociendo las razones trigonométricas y que los ángulos de un triángulo suman siempre (en dos dimensiones) 180º. Teniendo en cuenta que el libro está supuestamente dirigido a los padres de estudiantes en especial, con la intención de provocar pequeñas “discusiones” científicas entre padres e hijos, pensamos que debería haber explicado un poco las razones trigonométricas para hacer así asequible del todo y a todos entender la experiencia, pues creemos que muchos padres no recordarán lo que son.

A pesar de todo como lectores y quizás como, me atrevería a decir, científicos, nos parece que el capítulo nos ha sido muy útil para aplicar algunos conocimientos que habíamos adquirido con anterioridad y al mismo tiempo conocer un poco mejor la historia de la ciencia, que consideramos importantísima para entender como es la ciencia actual.

Para finalizar solo nos gustaría añadir algunas webs que nos han sido de gran utilidad a la hora de realizar este trabajo:

http://es.wikipedia.org/

www.astromia.com/biografias/eratostenes.html

www.astroseti.org/matematicas/articulo.php?num=3772

www.redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/conciencia/fisica/medicion/meteratostenes.htm